A-level Physics (Advancing Physics)

A-level Physics (Advancing Physics)/Phasors
< A-level Physics (Advancing Physics)

Consider the image on the right. It shows a wave travelling through a medium. The moving blue dot represents the displacement caused to the medium by the wave. It can be seen that, if we consider any one point in the medium, it goes through a repeating pattern, moving up and down, moving faster the nearer it is to the centre of the waveform. Its height is determined by the amplitude of the wave at that point in time. This is determined by a sine wave.

A phasor
Phasors are a method of describing waves which show two things: the displacement caused to the medium, and the point in the repeating waveform which is being represented. They consist of a circle. An arrow moves round the circle anticlockwise as the wave pattern passes. For every wavelength that goes past, the arrow moves 360°, or 2πc, starting from the right, as in trigonometry. The angle of the arrow from the right is known as the phase angle, and is usually denoted θ, and the radius of the circle is usually denoted a. The height of the point at the end of the arrow represents the displacement caused by the wave to the medium, and so the amplitude of the wave at that point in time. The time taken to rotate 360° is known as the periodic time, and is usually denoted T.
Phase difference is the difference between the angles (θ) of two phasors, which represent two waves. It is never more than 180°, as, since the phasor is moving in a circle, the angle between two lines touching the circumference will always be less than or equal to 180°. It can also be expressed in terms of λ, where λ is the total wavelength (effectively, 360°). You can use trigonometry to calculate the displacement from the angle, and vice-versa, provided you know
the radius of the circle. The radius is equal to the maximum amplitude of the wave.
Phasors can be added up, just like vectors: tip-to-tail. So, for example, when two waves are superposed on each other, the phasors at each point in the reference material can be added up to give a new displacement. This explains both constructive and destructive interference as well. In destructive interference, the phasors for each wave are pointing in exactly opposite directions, and so add up to nothing at all. In constructive interference, the phasors are pointing in the same direction, so the total displacement is twice as much.

Faculty of Science
School of Physics
Phasor addition
Here we discuss phasor addition: a simple way of adding two or more simple harmonic oscillations. This is a background page to the multimedia chapter Interference.

Mass on Spring: introducing phasors
In the chapter on Simple harmonic motion, we showed how it could be represented as a projection of uniform circular motion. Now let's be explicit:

On this still from the animation above, the graph at right shows the displacement y of simple harmonic motionwith amplitude A, angular frequency ω and zero initial phase:

y = A sin ωt.





If uniform circular motion has radius A, angular frequency ω and zero initial phase, then the angle between the radius (of length A) and the x axis is ωt as shown. The rotating arm here is called a phasor, which is a combination of vector and phase, because the direction of the vector (the angle it makes with the x axis) gives the phase.
Two phasors with fixed phase
Let's see how useful this phasor representation is when we add simple harmonic motions having the same frequency but different phase.
Here we have the brown phasor with magnitude A and initial phase 0
y1 = A sin ωt
and the green one with magnitude A and initial phase φ:
y2 = B sin (ωt + φ).
We say y2 is ahead of y1 by φ or more commonly, y2 leads y1 by φ.

From vector addition, we can see that the red phasor is the sum of the brown and the green ones. The amplitude and phase of the red phasor can then be obtained by trigonometry or geometry.
Mixing two sounds
This film clip from the chapter Interference shows an example of the addition of two sine waves with varying amplitude and phase.

Both loudspeakers are being driven by the same oscillator and, assuming that the speakers are similar, they each output the same sound wave. The one that is closer to the camera and microphone will be both louder (larger amplitude) and ahead in phase. Adding such signals becomes a little more complicated.
Constructive and desctructive interference
When one adds two simple harmonic motions having the same frequency and different phase, the resultant amplitude depends on their relative phase, on the angle between the two phasors. In this animation, we vary the relative phase to show the effect.


















Here, the phasor diagram shows that the maximum amplitude occurs when the two are in phase: this is called constructive interference. The minimum sum arises when they are 180° out of phase, which is called destructive interference.
What if the frequencies are different?
If one simple harmonic oscillation has angular frequency ω1 and the other angular frequency ω2, we could say that the second leads the first by a variable angle φ, where dφ/dt = ω2 − ω1. In general, this representation doesn't usually lead to substantial simplification. However, an interesting phenomenon arises when
f2/f1 = ω2/ω1 = m/n, where m and n are small integers.
This is interesting, because it is also the condition for musical consonance. In the example below, the ratio is 3/2, which in music is the perfect fifth, one of the most harmonious consonances.

This animation shows how consonance may be demonstrated using Lissajous figures, in which one harmonic oscillation is plotted as the y coordinate and the other as the x coordinate. We have a separate page on Lissajous figures.

Applications
Phasor sums are used to analyse interference and consonance in sound, the interference and diffraction of waves in general and in AC electricity.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระดับฟิสิกส์ (Advancing ฟิสิกส์) / เฟสเซอร์
<ระดับฟิสิกส์ (Advancing ฟิสิกส์) พิจารณาภาพด้านขวา มันแสดงให้เห็นคลื่นเดินทางผ่านสื่อ จุดสีฟ้าหมายถึงการเคลื่อนย้ายการเคลื่อนที่ที่เกิดกลางโดยคลื่น จะเห็นได้ว่าถ้าเราพิจารณาจุดใดคนหนึ่งในสื่อที่มันผ่านไปรูปแบบการทำซ้ำย้ายขึ้นและลงย้ายได้เร็วขึ้นใกล้ก็คือการเป็นศูนย์กลางของรูปแบบของคลื่น ความสูงของมันจะถูกกำหนดโดยความกว้างของคลื่นที่จุดในเวลานั้น นี้จะถูกกำหนดโดยคลื่นไซน์. เฟสเซอรเฟสเซอร์คลื่นซึ่งเป็นวิธีการที่อธิบายแสดงสองสิ่ง: การเคลื่อนที่ที่เกิดกลางและจุดซึ่งรูปแบบของคลื่นซ้ำจะถูกแสดง พวกเขาประกอบด้วยวงกลม ย้ายลูกศรทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมเป็นรูปแบบคลื่นผ่าน สำหรับความยาวคลื่นที่จะไปผ่านมาทุกครั้งที่ลูกศรย้าย 360 °หรือ2πcเริ่มต้นจากขวาเช่นเดียวกับในตรีโกณมิติ มุมของลูกศรจากขวาเป็นที่รู้จักกันเป็นมุมเฟสและมักแสดงθและรัศมีของวงกลมจะแสดงมักจะ ความสูงของจุดที่ส่วนท้ายของลูกศรที่แสดงให้เห็นถึงการเคลื่อนที่ที่เกิดจากคลื่นกลางและเพื่อให้ความกว้างของคลื่นที่จุดในเวลานั้น เวลาที่จะหมุน 360 องศาเป็นที่รู้จักกันเป็นระยะเวลาและมีการแสดงมักจะ T. แตกต่างคือความแตกต่างระหว่างมุมเฟส (th) ของสองเฟสเซอร์ซึ่งเป็นตัวแทนของสองคลื่น มันเป็นไม่เกิน 180 องศาเป็นเพราะเปซเฟสเซอร์ที่มีการเคลื่อนไหวในวงกลม, มุมระหว่างสองสายการสัมผัสเส้นรอบวงจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 ° นอกจากนี้ยังสามารถแสดงในรูปของλที่λคือความยาวคลื่นทั้งหมด (อย่างมีประสิทธิภาพ 360 °) คุณสามารถใช้ตรีโกณมิติการคำนวณการเคลื่อนที่จากมุมและในทางกลับกันให้คุณรู้ว่ารัศมีของวงกลม รัศมีเท่ากับความกว้างสูงสุดของคลื่น. เฟสเซอร์ที่สามารถเพิ่มขึ้นเช่นเพียงแค่เวกเตอร์: TIP ไปหาง ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นเมื่อสองคลื่นจะ superposed กับแต่ละอื่น ๆ เฟสเซอร์ในแต่ละจุดในวัสดุอ้างอิงที่สามารถเพิ่มขึ้นเพื่อให้รางใหม่ นี้จะอธิบายถึงการแทรกแซงทั้งสร้างสรรค์และทำลายเช่นกัน ในการแทรกแซงทำลายเฟสเซอร์สำหรับคลื่นแต่ละชี้ไปในทิศทางตรงข้ามตรงและอื่น ๆ เพิ่มขึ้นถึงอะไรเลย ในการแทรกแซงสร้างสรรค์จะชี้ไปในทิศทางเดียวกันเฟสเซอร์ดังนั้นแทนที่ทั้งหมดเป็นสองเท่า. คณะวิทยาศาสตร์สาขาวิชาฟิสิกส์นอกจาก Phasor นี่เราจะหารือนอกจากเฟสเซอร: เป็นวิธีที่ง่ายของการเพิ่มแนบแน่นประสานง่ายสองคนหรือมากกว่า นี้เป็นพื้นหลังเพื่อบทแทรกแซงหน้ามัลติมีเดีย. มวลในฤดูใบไม้ผลิ: แนะนำเฟสเซอร์ในบทที่เกี่ยวกับการเคลื่อนไหวประสานง่ายเราแสดงให้เห็นว่ามันอาจจะแสดงเป็นภาพของการเคลื่อนไหวของวงกลมเครื่องแบบ ตอนนี้ขอให้เป็นคนที่ชัดเจน: ในกับ Still จากแอนิเมชั่เหนือกราฟที่ด้านขวาแสดงให้เห็นถึงการเคลื่อนที่ y ของ motionwith ประสานง่ายกว้าง, o ความถี่เชิงมุมและศูนย์เฟสแรก: . y = SIN OT หากการเคลื่อนไหวเครื่องแบบวงกลมมีรัศมี, ความถี่เชิงมุมωและเป็นศูนย์ช่วงแรกแล้วมุมระหว่างรัศมี (ความยาว) และแกน x เป็นωtตามที่ปรากฏ แขนหมุนที่นี่จะเรียกว่าเฟสเซอรซึ่งเป็นการรวมกันของเวกเตอร์และเฟสเพราะทิศทางของเวกเตอร์ (มุมก็จะทำให้กับแกน x) จะช่วยให้ขั้นตอน. สองเฟสเซอร์เฟสคงที่เรามาดูวิธีที่มีประโยชน์แทนเฟสเซอรนี้ . เมื่อเราเพิ่มการเคลื่อนไหวสอดคล้องกันง่ายจะมีขั้นตอนเหมือนกัน แต่แตกต่างกันความถี่ที่นี่เรามีกับเฟสเซอรสีน้ำตาลขนาดขั้นตอนการเริ่มต้นและ 0 Y1 = SIN ot หนึ่งสีเขียวที่มีขนาดและเฟสและเริ่มต้น PH: y2 = B SIN ( OT + PH). เราบอกว่าเป็นกรดด่างหรืออื่น ๆ โดยทั่วไป y2 เป็นหน้าของ Y1, y2 LEADS Y1 โดยพีเอช. นอกจากนี้จากเวกเตอร์เราจะเห็นว่าเฟสเซอรสีแดงเป็นผลรวมของบราวน์และคนสีเขียว จากนั้นกว้างและขั้นตอนของเฟสเซอรสีแดงสามารถรับได้โดยเรขาคณิตหรือตรีโกณมิติ. ผสมสองเสียงสัญญาณรบกวนในบทนี้จะแสดงตัวอย่างของคลิปภาพยนตร์จากสองคลื่นไซน์ด้วยนอกเหนือจากที่แตกต่างกันความกว้างและเฟส. ลำโพงทั้งสองจะถูกผลักดันด้วย oscillator เดียวกันและสมมติว่าลำโพงที่มีความคล้ายคลึงพวกเขาแต่ละคนเอาท์พุทคลื่นเสียงเดียวกัน หนึ่งที่อยู่ใกล้กับกล้องและไมโครโฟนจะมีทั้งดัง (กว้างขนาดใหญ่) และไปข้างหน้าในขั้นตอน เพิ่มเติมการเพิ่มสัญญาณดังกล่าวจะกลายเป็นความซับซ้อนน้อย. การรบกวนสร้างสรรค์และ desctructive สองการเคลื่อนไหวประสานง่ายเพิ่มเมื่อหนึ่งมีความถี่เดียวกันและขั้นตอนที่แตกต่างกัน, ความกว้างผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับขั้นตอนญาติของพวกเขาอยู่กับมุมระหว่างสองเฟสเซอร์ . ในการเคลื่อนไหวนี้เราแตกต่างกันไปแสดงผลกระทบต่อระยะญาติที่นี่แผนภาพเฟสเซอรที่แสดงให้เห็นความกว้างเกิดขึ้นเมื่อสองสูงสุดอยู่ในขั้นตอนนี้จะเรียกว่าแทรกแซง เมื่อผลรวมของผลที่เกิดขึ้นพวกเขาจะมีขั้นต่ำ 180 องศาออกจากเฟสซึ่งเรียกว่าการแทรกแซงทำลาย. เกิดอะไรขึ้นถ้าความถี่มีความแตกต่างกันอย่างไรหากมีฮาร์โมนิเชิงมุมง่ายความถี่ความถี่เชิงมุม o2 o1 และอื่น ๆ เราอาจกล่าวได้ว่านำไปสู่สอง เป็นครั้งแรกโดยφมุมตัวแปรที่dφ / dt = ω2 - ω1 โดยทั่วไปแล้วการแสดงนี้ไม่ได้มักจะนำไปสู่ความเรียบง่ายมาก แต่ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเกิดขึ้นเมื่อF2 / F1 = o2 / o1 = เมตร / n โดยเมตรและ n เป็นจำนวนเต็มขนาดเล็ก. นี้เป็นที่น่าสนใจเพราะมันยังเป็นเงื่อนไขในการสอดคล้องดนตรี ในตัวอย่างด้านล่างนี้อัตราส่วนเป็น 3/2 ซึ่งเป็นที่ห้าที่สมบูรณ์แบบในเพลงหนึ่งของ consonances กลมกลืนส่วนใหญ่. นี้อาจจะแสดงให้เห็นถึงการใช้วิธีการที่สอดคล้องนิเมชั่นแสดงตัวเลข Lissajous หนึ่งที่ผันผวนฮาร์โมนิพล็อตเป็นและประสานงาน และอื่น ๆ ตามที่พิกัด x เรามีหน้าแยกตัวเลข Lissajous. ปพลิเคชันที่ใช้ในการวิเคราะห์ผลรวม Phasor อยู่ในความสอดคล้องกันและการรบกวนเสียงรบกวนของคลื่นโดยทั่วไปและใน AC ไฟฟ้าและการเลี้ยวเบน